数理统计

基础知识

贝叶斯和频率论解释的差异

Lindley's paradox

中位值和平均值

参看http://www.math.uah.edu/stat/sample/Variance.html

• 中位值对应的误差mean absolute error function

• 平均值对应的误差是 mean square error function

mae(a)=1n−1∑i=1n|xi−a|,a∈R

• 中位值的误差 1.253*sigma/sqrt(N),比平均值误差大 (假设高斯分布）

方差，标准偏差，误差

• 样本方差（sample variance）

解析失败 (语法错误): {\displaystyle <msup> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>&#x2212;<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&#x2211;<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&#x2212;<!-- − --></mo> <mi>m</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mn>2</mn> </msup>}

证明参考：http://www.math.uah.edu/stat/sample/Variance.html

• 样本方差的分布可以用Chi-square分布近似

(n−1)S2σ2=∑ni=1(Xi−X¯)2σ2∼χ2(n−1) 证明参考https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/174

严格形式http://mathworld.wolfram.com/SampleVarianceDistribution.html

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• 标准偏差的误差，0.71**sigma/sqrt(N) （假设高斯分布）

例子

两组数据混合之后的均值和弥散

数组 A (i=1,N1), 其均值为 M1，弥散为 S1 数组 B(i=1,N2),其均值为M2,弥散为S2

现将A，B混合组成数组C，求其均值M3和弥散S3

M3=(N1*M1+N2*M2)/(N1+N2)

(N1+N2)*S3^2=N1*S1^2+N2*S2^2+(N1^2+N2^2)/(N1+N2)^2*(M1-M2)^2

极值统计

极值统计在天文中有较多应用：如观测到的高红移星系团，大的void的是否符合halo mass function的预言？ BCG的光度是否符合光度函数的极值分布？

• arxiv:1108.1358 给出了halo mass function的极值分布函数的近似，表明要用极值来区分非高斯性是有困难的。
• arxiv:1108.5458 ： 在拿观测和理论模型进行比较的时候，可以在两个极端之间 ，1观测样本是极限情况（least probable），2，随机情况。
• 在讨论观测样本的可能数目（比如一定体积限内大于多少质量的星系团的个数）之外，还可以进一步比较观测量（比如）的分布情况。

• 极值统计的两种近似(arXiv: 1201.3526)

• GEV (general extreme value): Gnedenko approach 比如一个空间内最大质量星系团不超过某个极值的概率
• The Pareto approach 这是一个条件概率，比如是在大于某个极限的星系团中，超过这个极限某个数值的概率。
• 这两个概率在极限情况下，就是比如星系团的极值都设得特别大的情况下都是1. 但是在非极限情况下不一致，条件概率比GEV更小一点。